2025年　金沢大学数学（理系）を徹底解説！

【全体概観】

昨年と比べても易化したと見られます。数学が得意な生徒であれば、時間内に8割程度の得点も狙えるのではないでしょうか。第1問をきっちり確保し、残りの3問のうちから1問を完答、残り2問も半分以上の部分点を狙って動ければ充分でしょう（医学類志望者は満点を目指すつもりで！）。

以下、各問題に関する所感です。難易度は易、やや易、標準、やや難、難の5段階で評価しております（あくまで金大を受験する生徒から見た難易度感です）。

・第1問は図形と方程式、ベクトル、図形の性質などの出題でした。(1)と(2)はよくある問題で、特に苦戦することなく解けるでしょう。(3)もルートによっては計算量が少し多いですが、およそ20分と掛からず得点可能でしょう。やや易で、必ず得点したい問題です。

・第2問は微積分と極限の出題でした。(1)はただ計算するだけで、(2)も定石を知っていればその通り処理できる問題です。(3)は(2)を使える形に変形したり、別の極限値を求めたりとやることは多く、時間内の完答を諦めた方も多いのでは。標準レベルの問題です。

・第3問は誘導なしの回転体の問題。丁寧に図示して正しく場合分けすれば、あとは大したことの無い計算をするだけですが、その正しい場合分けが少し複雑で、どれかを見落とした生徒も多いのではないでしょうか。標準レベルです。

・第4問は整数分野からの出題。(1)は直接計算すれば答えに察しはつくし、(2)も簡単な計算で証明できるのですが、(3)は整数問題に慣れていないと手が止まってしまうかもしれません。完答の難易度ならやや難レベルですが、(2)までは標準レベルなのできっちり得点してほしいところです。

実数 について,座標平面上に3点\(A(1,0),B(m,0),C(m^2,0)\)をとる。点\(P(x,y)\)は\(𝐴𝑃:𝐶𝑃=1:𝑚\)を満たしながら動くとする。次の問いに答えよ。

(1)点\(P(x,y)\)の軌跡を求めよ。

(2)次の等式を証明せよ。

$$\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} =m(m+1)(m-x)$$

(3)\(y≠0\)とする。点\(P(x,y)\)に対して\(∠APB=∠BPC\)が成り立つことを示せ。

 (1)点\(P(x,y)\)に対し、\(AP=\sqrt{(1-x)^2+y^2} 、CP=\sqrt{(m^2-x)^2+y^2}\)である。

ここで、\(AP:CP=1:m\)であるから、\(m\sqrt{(1-x)^2+y^2 }=\sqrt{(m^2-x)^2+y^2}\)を得る。

これを計算して整理すると\(x^2+y^2=m^2\)を得る[2]。

以上より、原点中心で半径が\(m\)の円が求める軌跡である。

(2) \(\overrightarrow{PB} =(m-x,-y),\overrightarrow{PC} =(m^2-x,-y)\)であるので、

\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC} =(m-x)(m^2-x)+y^2\)

である。ここで、(1)より、点\(P(x,y)\)は\(x^2+y^2=m^2\)という関係式を満たすため、

\((m-x)(m^2-x)+y^2={(m-x)(m^2-x)+m}^2-x^2\)

と変形できる。この式を変形し、

\((m-x)(m^2-x)+m^2-x^2=(m-x)(m^2-x)+(m-x)(m+x)\)

\(=(m-x)(m^2-x+m+x)=(m-x)(m^2-m)=m(m-x)(m-1)\)

を得る。□

(3) 先ほどと同様に\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\)を計算する。\(\overrightarrow{PA}=(1-x,-y)\)であるので、

\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1-x)(m-x)+y^2=⋯=(m+1)(m-x)\)

が成り立つ。(2)の結果から、\(m\overrightarrow{PA} \cdot\overrightarrow{PB} =\overrightarrow{PA} \cdot\overrightarrow{PC} \)であることが分かる。

内積の定義から、

\(m|\overrightarrow{PA} ||\overrightarrow{PB} |cos∠APB=|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PC} |cos∠BPC\)

である。一方で、

\(m|\overrightarrow{PA} |=m\sqrt{(1-x)^2+y^2 }=\sqrt{m^2 (1-x)^2+m^2 y^2}\)

\(=\sqrt{m^2-2m^2 x+m^2 x^2+(m^2-1)y^2+y^2}\)

\(=\sqrt{m^2-2m^2 x+m^2 x^2+(m^2-1)(m^2-x^2)+y^2}\)

\(=\sqrt{m^4-2m^2 x+x^2+y^2}\)

\(=\sqrt{(m^2-x)^2+y^2 }=|\overrightarrow{PC} |\)

が分かるので、

\(m|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos∠APB=|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PC}|cos∠BPC\)

\(|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PC}|cos∠APB=|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PC}|cos∠BPC\)

\(cos∠APB=cos∠BPC\)

が分かる。ここで\(∠APB\)と\(∠BPC\)は\(0°\)より大きく\(180°\)より小さい角であるから、

\(∠APB=∠BPC\)

を得る。□

(3)[別解]　\(AB=m-1,BC=m^2-m=m(m-1)\)であるから、\(AB:BC=1:m\)である。

ところで、問題の条件から\(AP:CP=1:m\)であるから、(\(y≠0\)に注意して)三角形\(APC\)に注目すると、角の二等分線の定理の逆から\(∠APB=∠BPC\)が言える。□

実数\(a>0\)に対し,座標平面上の点\(P(a,0)\)をとる。曲線

\(y=\frac{1}{3} x^(\frac{3}{2}) (x≧0)\)

を\(C\)とする。点\(Q\)が曲線\(C\)上を動くとき,\({PQ}^2\)の最小値を与える点\(Q\)の\(x\)座標を\(F(a)\)とし, \({PQ}^2\)の最小値を\(G(a)\)とする。次の問いに答えよ。

(1)\(F(a)\)を求めよ。

(2)\(\lim_\limits{a\to+0}⁡\frac{(F(a)-a)}{a^2 }\)を求めよ。

(3)\(\lim_\limits{a\to+0}⁡\frac{G(a)}{a^3 }\)を求めよ。

 (1)点Qの座標を(\(t,\frac{1}{3} t^\frac{3}{2}\))とする(\(t≧0\))。このとき、

\(PQ^2=(a-t)^2+(\frac{1}{3}t^\frac{3}{2})^2=\frac{1}{9}t^3+t^2-2at+a^2\)

であり、これを\(t\)についての3次関数として見て、\(t≧0\)における最大値を考えればよい。

\(f(t)=\frac{1}{9}t^3+t^2-2at+a^2\)

とすると、

\(f'(t)=\frac{1}{3} t^2+2t-2a=\frac{1}{3}(t^2+6t-6a)\)

である。\(\frac{1}{3} (t^2+6t-6a)=0\)を解くと、\(t=±\sqrt{9+6a}-3\)であり、\(a\)の範囲から\(\sqrt{9+6a}-3\)は正の実数、\(-\sqrt{9+6a}-3\)は負の実数であることが分かる。以上から、\(f(t)\)の増減表は以下の通り。

よって、f(t)は極小値をとるときに最小値を取るので、F(a)=√(9+6a)-3。

(3) \(\lim_\limits{a\to+0}⁡\frac{G(a)}{a^3 }=\lim_\limits{a\to+0}⁡\frac{1}{a^3} (\frac{1}{9} F(a)^3+F(a)^2-2aF(a)+a^2 )\)

\(=\lim_\limits{a\to+0}(⁡\frac{1}{9} \cdot\frac{F(a)^3}{a^3} +\frac{F(a)^2}{a^3} -2 \frac{F(a)}{a^2} +\frac{1}{a})\)

\(=\lim_\limits{a\to+0}⁡⁡(\frac{1}{9}\cdot (\frac{(F(a)}{a})^3+\frac{F(a)^2}{a^3} -\frac{F(a)}{a^2} -\frac{F(a)}{a^2}+\frac{1}{a}) \)

\(=\lim_\limits{a\to+0}⁡(\frac{1}{9}\cdot(\frac{F(a)}{a})^3+\frac{F(a)}{a}(\frac{F(a)-a}{a^2})-(\frac{F(a)-a}{a^2}))\)

ここで、 \(\lim_\limits{a\to+0} \frac{F(a)}{a}=\lim_\limits{a\to+0}\frac{\sqrt{9+6a}-3}{a}\)

\(=\lim_\limits{a\to+0} \frac{(\sqrt{9+6a}-3)(\sqrt{9+6a}+3)}{a(\sqrt{9+6a}+3)}\)

\(=\lim_\limits{a\to+0} \frac{9+6a-9}{a(\sqrt{9+6a}+3)}=\lim_\limits{a\to+0} \frac{6}{(\sqrt{9+6a}+3)}=\frac{6}{(\sqrt{9+3})}=1\)

であるから、

\(=\lim_\limits{a\to+0} ⁡(\frac{1}{9}\cdot(\frac{F(a)}{a})^3+\frac{F(a)}{a}(\frac{F(a)-a}{a^2})-(\frac{F(a)-a}{a^2})\)

\(=\frac{1}{9}\cdot1+1\cdot(-\frac{1}{6})-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{9}\)

である。

以上より、\(=\lim_\limits{a\to+0}\frac{G(a)}{a^3}=\frac{1}{9}\)

座標平面上の\(0≦x≦2log2\)の範囲において,曲線\(y=e^x\)と曲線\(y=2-e^{2x}\),直線\(x=2log2\)で囲まれた図形を\(D\)とする。図形\(D\)を\(x\)軸の周りに1回転してできる回転体の面積\(V\)を求めよ。

\(y=2-e^{2x}\)を\(x\)について微分すると\(y’=-2e^{2x}\)であり、これはすべての実数\(x\)について負の値を取るから、\(y=2-e^{2x}\)は定義域全体で単調減少である。

また、\(2-e^{2x}=0\)を解くと\(x=\frac{1}{2}log2\)であり、これを基にグラフの概形を図示すると下図の通りである。下図の赤く塗った部分を\(x\)軸周りに回転させたときの立体の体積を求めればよい。

ここで、不等式\(|2-e^{2x} |<|e^x |\)を解くと、\(0<x<log2\)が分かる。

よって、回転体の断面は

・\(0≦x≦\frac{1}{2} log2\)においては半径\(|e^x |\)の円から半径\(|2-e^{2x} |\)の円をくり抜いた図形

・\(\frac{1}{2} log2<x≦log2\)においては半径\(|e^x |\)の円

・\(log2<x<2log2\)においては半径\(|2-e^2x |\)の円

になっていることが分かる。従って、求める面積は

\(V=π\int_0^{\frac{1}{2}log2}((e^x)^2-(2-e^{2x})^2)dx+π\int_{\frac{1}{2}log2}^{log2} (e^x)^2 dx+π\int_{log2}^{2log2}(2-e^{2x})^2 dx\)

であり、これを計算して[4]

\(V=(\frac{7}{4}-2log2)π+π+(36+4log2)π=2πlog2+\frac{155}{4 }π\)

を得る。

次の式によって与えられる数列\(\{a_n\},\{b_n\},\{x_n\}\)がある。

\(a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n k ,b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 ,x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n ka_k \)

次の問いに答えよ。

(1)\(\frac{b_n}{a_n}\)が整数となる\(n\)をすべて求めよ。

(2)\(x_n=\frac{1}{2}({a_n}^2+b_n)\)を示せ。

(3)\(\frac{x_n}{a_n}\)が整数となる\(n\)をすべて求めよ。

(1)\(a_n=\frac{1}{2} n(n+1)  ,b_n=\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\)であるので、

\(\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{3}(2n+1)\)

だと分かる。これが整数になることは\(2n+1≡0(mod3)\)と同値。また、\(n\)を\(3\)で割った余りで分類すると、

・\(n≡0(mod3)\)のとき、\(2n+1≡1(mod3)\)

・\(n≡1(mod3)\)のとき、\(2n+1≡0(mod3)\)

・\(n≡2(mod3)\)のとき、\(2n+1≡2(mod3)\)

であるから、\(2n+1≡0(mod3)\)は\(n≡1(mod3)\)と同値である。

以上より、\(n≡1(mod3)\)を満たすすべての正の整数\(n\)が答えである。

(2)\( x_n=\sum_{k=1}^n ka_k = \sum_{k=1}^n k\cdot \frac{1}{2} k(k+1)\)

\(= \frac{1}{2}  \sum_{k=1}^n (k^3+k^2) = \frac{1}{2}(\sum_{k=1}^n k^3+\sum_{k=1}^n k^2 )\)

ここで、

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 =(\frac{1}{2} n(n+1))^2={a_n}^2\)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 =b_n \)

であるので、

\(x_n=\frac{1}{2}(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3+ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 ) = \frac{1}{2}({a_n}^2+b_n)\)

が得られる。□

(3)(2)より、

\(\frac{x_n}{a_n}=\frac{1}{2a_n} ({a_n}^2+b_n )\)

\(=\frac{1}{2}(a_n+\frac{b_n}{a_n})\)

\(=\frac{1}{2} (\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{3}(2n+1))\)

\(=\frac{1}{12}({3n}^2+7n+2)\)

\(=\frac{1}{12}(3n+1)(n+2)\)

以上より、これが整数になることは\((3n+1)(n+2)≡0(mod12)\)と同値。ここで\(12=3×4\)であり、\(3\)と\(4\)は互いに素であるから、\((3n+1)(n+2)≡0(mod12)\)は「\((3n+1)(n+2)≡0(mod3)\)かつ\((3n+1)(n+2)≡0(mod4)\)」と同値であることに注意する。

○\((3n+1)(n+2)≡0(mod3)\)は、\(3n+1\)がいかなる整数\(n\)についても\(3\)の倍数にならないことから、\(n+2≡0(mod3)\)、つまり\(n≡1(mod3)\)と同値。

○\((3n+1)(n+2)≡0(mod4)\)は、\(n\)を\(4\)で割った剰余で分類すると、

・\(n≡0(mod4)\)のとき、\((3n+1)(n+2)≡1\cdot2≡2(mod4)\)

・\(n≡1(mod4)\)のとき、\((3n+1)(n+2)≡0\cdot3≡0(mod4)\)

・\(n≡2(mod4)\)のとき、\((3n+1)(n+2)≡3\cdot0≡0(mod4)\)

・\(n≡3(mod4)\)のとき、\((3n+1)(n+2)≡2\dot1≡2(mod4)\)

となるので、\((3n+1)(n+2)≡0(mod4)\)は\(n≡1(mod4)\)または\(n≡2(mod4)\)と同値。

つまり、\((3n+1)(n+2)≡0(mod12)\)は「”\(n≡1(mod3)\)かつ\( n≡1(mod4)\)”または”\( n≡1(mod3)\)かつ \(n≡2(mod4)\)”」と同値。

ここで、

・\(n≡1(mod3)\)かつ\( n≡1(mod4)\)は\(n≡1(mod12)\)と同値。

・\(n≡1(mod3)\)かつ \(n≡2(mod4)\)は\(n≡10(mod12)\)と同値。

であるので、結局\((3n+1)(n+2)≡0(mod12)\)は「\(n≡1(mod12)\)または\(n≡10(mod12)\)」と同値であると分かる。

以上より、求める答えは\(n≡1(mod12)\)または\(n≡10(mod12)\)となるようなすべての正の整数\(n\)である。